Тиждень математики та інформатики

Увага! Конкурс!

2013 рік – рік змії ЗМІЯ - символ мудрості, добра і обережності.

Оголошується конкурс розв’язування математичних задач! Запрошуються всі бажаючі любителі математики.

8 клас

1. Як, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого 13°, побудувати кут, градусна міра якого дорівнює 20° ?

2. Чи можна в 1600-значному числі 20132013…2013 закреслити декілька цифр на початку і в кінці так, щоб сума решти цифр дорівнювала 2013 ?

3. Яка 2013-та цифра в десятковому записі дробу ?

4. Для натуральних чисел m і n, що не дорівнюють 1, має місце рівність m • n = 2013. Знайти суму m + n.

5. Кожна буква позначає цифру. Однакові букви позначають однакові цифри. Розшифрувати приклад: АВАС + АВА + АВ + А = 2013.

6. Чому при послідовному додаванні до числа 2013 числа (-2) не можна отримати число (-2012) ?

9 клас

1. У записаному рядку 1 * 1 * 1 * 1 * … * 1 вміщено 2013 одиниць. Замість кожної * (зірочки) можна поставити знак плюс або мінус. Виконавши дії, отримаємо деяке число. Чому дорівнює сума всіх чисел, отриманих таким способом?

2. Знайти останню цифру числа 2013 + 3201 .

3. Маємо пристрій, що дозволяє будь-який шматок дроту розрізати на 4 шматки. Чи можна цим пристроєм із даних 5 шматків дроту зробити 2013 шматків?

4. Якою цифрою закінчується число 20132013 ?

5. Чи існують такі натуральні числа m і n , що m n (m - n) = 2013 ?

6. На складі склотари є банки місткістю 0,5 л, 0,7 л і 1 л. Зараз на складі є 2600 банок загальною місткістю 2013 л. Довести, що на складі є хоча б одна півлітрова банка.

10 клас

1. Яке найменше невід’ємне число можна отримати шляхом розстановки перед числами 1, 2, … 2013 знаків «+» і «-» та наступного виконання вказаних операцій?

2. Було 4 аркуші паперу. Деякі з них розрізали на 4 частини, потім деякі з четвертинок знову розрізали на 4 частини і т.д. Коли підрахували загальне число аркушів, то виявилося, що їх всього 2013. Чи правильно виконано підрахунок?

3. Підберіть 5 послідовних натуральних чисел і поставте перед кожним з них знак «+» або «-» так, щоб алгебраїчна сума дорівнювала 2013.

4. Довести, що 22013 + 32013 ділиться на 5.

5. Знайти суму зовнішніх кутів опуклого 2013-кутника. Відповідь обґрунтувати.

6. Микола написав на дошці декілька цілих чисел. Оля написала під кожним Миколиним числом його квадрат, а Льоня додав всі написані на дошці числа і отримав 2013. Довести, що або Оля, або Льоня зробили помилку.

11 клас

1. Розв’язати рівняння:

2. Довести, що 92013 + 1 не ділиться на 100.

3. Поставити замість зірочок знаки арифметичних дій і знайти натуральне число А, якщо 20 * А * 13 = 2013.

4. Чи є у вашій школі учні, яким в 2013 році виповниться стільки років, яка сума цифр їх року народження?

5. Скількома нулями закінчується число, яке дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до 2013 включно?

6. Розв’язати систему в цілих числах: